Question

求函數y=3-x2+2x+3的定義域、值域和單調區間．

Answer 1

分析：根據題意，定義域的求解易知為（-∞，+∞），值域的求解通過換元法將3+2x-x²換成u，通過二次函數的知識求得u的范圍為（-∞，4]，再根據指數函數y=3^u的單調性即可求解
利用復合函數的單調性的特點（根據同增異減口訣，先判斷內層函數的單調性，再判斷外層函數單調性，在同一定義域上，若兩函數單調性相同，則此復合函數在此定義域上為增函數，反之則為減函數）判斷出函數的單調區間，在根據定義：（就是定義域內的任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂，比較f（x₁），f（x₂）的大小，或f（x₁）＜f（x₂）則是增函數；反之則為減函數）證明即可

解答：解：根據題意，函數的定義域顯然為（-∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x-x²=4-（x-1）²≤4．
∴y=3^u是u的增函數，
當x=1時，y_max=f（1）=81，而y=3-x2+2x+3＞0．
∴0＜3^u≤3⁴，即值域為（0，81]．
（3）當x≤1時，u=f（x）為增函數，y=3^u是u的增函數，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函數單調增區間為（-∞，1]；
其證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，1]且令x₁＜x₂
則

f(x1)

f(x2)

=3-

x

2 1

+2 x1+3÷3-

x

2 2

+2x2+3 =3-

x

2 1

+2 x1 +3+

x

2 2

-2x2-3=3(

x

2 2

 -

x

2 1

) +2 (x1 -x2)=
3(

x

2 2

 -

x

2 1

) +2(x1 -x2)=3(x1-x2)  (2-x1-x2) 
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（-∞，1]
∴x₁-x₂＜0，2-x₁-x₂＞0
∴（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）＜0
∴3(x1-x2)  (x1+x2+2)＜1
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴原函數單調增區間為（-∞，1]
當x＞1時，u=f（x）為減函數，y=3^u是u的增函數，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函數單調減區間為[1，+∞）．
證明同上．

點評：本題考查了以指數函數為依托，通過換元法進行求解函數值域，另外還有復合函數的單調性問題，屬于基礎題．