Question

已知拋物線的焦點為橢圓的右焦點,且橢圓的長軸長為4，M、N是橢圓上的的動點.
（1）求橢圓標準方程；
（2）設動點滿足：，直線與的斜率之積為，證明：存在定點使
得為定值，并求出的坐標；
（3）若在第一象限，且點關于原點對稱，垂直于軸于點，連接 并延長交橢圓于點，記直線的斜率分別為，證明：.

Answer 1

（1）；（2）存在使得;（3）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）由雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合求出橢圓中的，再由，求出所求橢圓方程為；（2）先設，由,結合橢圓的標準方程可以得到使得為定值；（3）要證明就是要考慮,詳見解析.
試題解析：（1）由題設可知：因為拋物線的焦點為，
所以橢圓中的又由橢圓的長軸為4得
故   
故橢圓的標準方程為： 
（2）設，
由可得：
   
由直線OM與ON的斜率之積為可得：
 ，即  
由①②可得： 
M、N是橢圓上的點，故
故，即 
由橢圓定義可知存在兩個定點，
使得動點P到兩定點距離和為定值;
（3）設，由題設可知 ，
由題設可知斜率存在且滿足.
  
將③代入④可得：⑤
點在橢圓，
故