Question

如圖，在三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5.

(1)求證：AA₁⊥平面ABC；

(2)求二面角A₁­BC₁­B₁的余弦值；

(3)證明：在線段BC₁上存在點D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析   (2)     (3) 見解析

【解析】解：(1)證明：因為四邊形AA₁C₁C為正方形，所以AA₁⊥AC.

因為平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且AA₁垂直于這兩個平面的交線AC，所以AA₁⊥平面ABC.

(2)由(1)知AA₁⊥AC，AA₁⊥AB.

由題知AB＝3，BC＝5，AC＝4，

所以AB⊥AC.

如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A­xyz，則B(0,3,0)，A₁(0,0,4)，B₁(0,3,4)，C₁(4,0,4)，

＝(0,3，－4)，＝(4,0,0)．

設平面A₁BC₁的法向量為n＝(x，y，z)，

則即

令z＝3，則x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．

同理可得，平面B₁BC₁的一個法向量為m＝(3,4,0)．

所以cos〈 n，m〉＝＝.

由題知二面角A₁­BC₁­B₁為銳角，

所以二面角A₁­BC₁­B₁的余弦值為.

(3)證明：設D(x，y，z)是直線BC₁上一點，且＝λ.

所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．

解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.

所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．

由·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.

因為∈[0,1]，所以在線段BC₁上存在點D，

使得AD⊥A₁B.此時，＝λ＝.