Question

（2004•寧波模擬）已知一個棱錐被平行于底面的兩個平面截為三部分，最上面的部分是一個小棱錐，其余兩部分都是棱臺，若這三部分的高相等，則上、中、下三部分的體積之比為

1：7：19

．

Answer 1

分析：由已知中從頂點起將錐體（圓錐或棱錐）的高三等分，過兩個分點分別作平行于底面的截面，兩個截面將錐體的體積依次分成三部分，體積分別為V₁，V₂，V₃，我們根據相似的性質，求出三個相應錐體的體積之比，相減后即可得到答案．

解答：解：由已知中從頂點起將錐體（圓錐或棱錐）的高三等分，過兩個分點分別作平行于底面的截面，
則以分別以原來底面和兩個截面為底面的錐體，是相似幾何體
相似比為1：2：3
根據相似的性質三個錐體的相似比為：1³：2³：3³=1：8：27
則上、中、下三部分的體積之比V₁：V₂：V₃=1：（8-1）：（27-8）=1：7：19
故答案為：1：7：19．

點評：本題考查棱錐的結構特征，考查棱錐的性質，棱錐的體積等．解答關鍵在于相似多邊形面積之比等于相似比的平方，其中利用相似的性質，線之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方，體積之比等于相似比的立方．