Question

已知函數 ().
（1）若,求函數的極值;
（2）設．
① 當時,對任意,都有成立,求的最大值;
② 設的導函數.若存在,使成立,求的取值范圍.

Answer 1

（1）參考解析； （2）①－1－e^－1，②(－1,+∞)

解析試題分析：（1）由函數 ()，且，所以對函數求導，根據導函數的正負性可得到結論
（2）①當時,對任意,都有成立，即時，恒成立. 由此可以通過分離變量或直接求函數的最值求得結果，有分離變量可得b≤x²－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立.通過求函數h(x)＝x²－2x－ (x＞0)的最小值即可得到結論.
②若存在,使.通過表示即可得到＝，所以求出函數u(x)＝ (x＞1)的單調性即可得到結論.
（1）當a＝2,b＝1時,f (x)＝(2＋)e^x,定義域為(－∞,0)∪(0,＋∞).
所以f ′(x)＝e^x.       2分
令f ′(x)＝0,得x₁＝－1,x₂＝,列表

x	(－∞,－1)	－1	(－1,0)	(0,)		(,＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

 
由表知f (x)的極大值是f (－1)＝e^－1,f (x)的極小值是f ()＝4.   4分
（2）① 因為g (x)＝(ax－a)e^x－f (x)＝(ax－－2a)e^x,
當a＝1時,g (x)＝(x－