Question

對于函數，若存在區間，使得，則稱區間為函數的一個“好區間”．給出下列4個函數：
①；②；③；④．
其中存在“好區間”的函數是     ．（填入所有滿足條件函數的序號）

Answer 1

②③④

試題分析：①函數在上是單調增函數，若函數在上存“好區間”則必有，即方程 有兩個根，令 
在上恒成立，所以函數在上為減函數，則函數在上至多一個零點，即方程在上不可能有兩個解，又因為函數的值域為，所以當或時，方程無解.所以函數沒有“好區間”；
②對于函數，該函數在上是增函數由冪函數的性質我們易得，時， ，所以為函數的一個“好區間”.
③對于函數當時，所以函數的增區間有和，減區間是，取，此時，所以函數在上的值域了是，則為函數的一個“好區間”；
④函數在定義域上為增函數，若有“好區間”  則也就是函數有兩個零點，顯然是函數的一個零點，由
得，,函數在上為減函數；由，得，函數在上為增函數.所以的最大值為，則該函數 在
上還有一個零點.所以函數存在“好區間”.