Question

（2012•福州模擬）本題有（1）、（2）、（3）三個選做題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分l4分．如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填人括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
利用矩陣解二元一次方程組

3x+y=2 4x+2y=3

．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）=1．圓的參數方程為

x=1+rcosq y=1+rsinq

（θ為參數，r＞0），若直線l與圓C相切，求r的值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知a²+b²+c²=1（a，b，c∈R），求a+b+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）方程組可寫為

3 1 4 2

x y

=

2 3

，由于系數行列式為2，故有唯一解．求出逆矩陣，原方程組的解為

x y

=

1 1 2 -2 3 2

2 3

=

1 2 1 2

．
（2）把直線的極坐標方程化為直角坐標方程，把圓C的參數方程化為普通方程，根據直線和圓相切的性質求出半徑．
（3）由于 （a+b+c）²=（a×1+b×1+c×1）²，利用柯西不等式求出它的最大值，即可得到a+b+c的最大值．

解答：解：（1）方程組可寫為

3 1 4 2

 

x y

=

2 3

，（2分）
系數行列式為 3×2-4×1=2，方程組有唯一解．
利用矩陣求逆公式得

3 1 4 2

-1=

1 1 2 -2 3 2

，（5分）
因此原方程組的解為

x y

=

1 1 2 -2 3 2

 

2 3

=

1 2 1 2

，即 

x= 1 2 y= 1 2

． （7分）
（2）∵直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）=1，
∴直線l的直角坐標方程為 x+y-1=0，（2分）
又圓C的普通方程為 （x-1）²+（y-1）²=r²，
所以圓心為（1，1），半徑為r．（4分）
因為圓心到直線l的距離 d=

|1+1-1|

2

=

2

2

，（6分）
又因為直線 l與圓C相切，所以 r=

2

2

．（7分）
（3）∵a²+b²+c²=1（a，b，c∈R），
∴（a+b+c）²=（a×1+b×1+c×1）²≤（a²+b²+c²） （1²+1²+1²）=3．（5分）
當且僅當 a=b=c時，等號成立，故 a+b+c的最大值為

3

． （7分）

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，柯西不等式在求函數的極值中的應用，屬于基礎題．