Question

【題目】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬，側棱底面，且，點是的中點，連接.

（1）證明：平面，試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；

（2）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，四面體是一個鱉臑，；（2）．

【解析】

試題分析：（1）欲證平面，需在平面內找到兩條相交的直線都與垂直，即證，即可；（2）根據錐體的體積公式表示出，，再利用之間的長度關系即可求得．

試題解析：（1）因為底面，所以，由底面為長方形，有，而，所以平面平面，所以，又因為，點是的中點，所以，而，所以平面.由平面，平面可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別是.

（2）由已知，是陽馬的高，所以；由（1）知：是鱉臑的高，，所以

在中，因為，點是的中點，所以，于是