Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*
（1）證明：數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n-n+1可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），且a₁-1=2≠0，可證
（2）由（1）可求an=2n-1+n，利用分組求和，結合等差數(shù)列與等比數(shù)列 的求和公式可求

解答：（1）證明：∵a_n+1=2a_n-n+1
∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），又a₁-1=2≠0
∴數(shù)列{a_n-n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列（5分）
（2）解：由（1）可得an-n=1•2n-1即an=2n-1+n（9分）
∴Sn=(20+1)+(21+2)+…+(2n-1+n)
=（1+2+…+2^n-1）+（1+2+…+n）
=2n-1+

n(n+1)

2

=2n+

n2+n+2

2

（13）

點評：本題主要考查了利用構造法證明等比數(shù)列（主要是配湊定義符合的要求），分組求和方法及等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式的應用．