Question

（2012•臺(tái)州一模）如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=4

3

，BD=2，AC=4，點(diǎn)E在線段PC上．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)時(shí)，求證：BE⊥AC；
（Ⅱ）若二面角B-EA-D為直二面角，求直線BE與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)時(shí)，EO∥PA，從而可得EO⊥平面ABCD，進(jìn)而有AC⊥EO，利用四邊形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，進(jìn)而可得AC⊥平面BED，即可證明BE⊥AC；
（Ⅱ）解法1，向量法，利用二面角B-EA-D為直二面角，可得平面AED的一個(gè)法向量、平面ABE的一個(gè)法向量，數(shù)量積為0，進(jìn)而利用向量的夾角公式，可求直線BE與平面ABCD所成角的正切值；
解法2：在三角形ABE中，作BF⊥EA，垂足為F，連接DF，OF，取線段CO的中點(diǎn)G，證明∠EBG就是直線BE與平面ABCD所成的角，即可求得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則O為AC，BD的中點(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)，所以EO∥PA..…（1分）
又PA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，
所以AC⊥EO．…（3分）
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，BD∩EO=O，
所以AC⊥平面BED，…（5分）
因?yàn)锽E⊆平面BED，所以BE⊥AC．        …（6分）
（Ⅱ）解法1：如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（-2，0，0），B（0，-1，0），C（2，0，0），D（0，1，0），P(-2，0，4

3

)，
所以

AD

=(2，1，0)，

AB

=(2，-1，0)．
設(shè)

PE

=λ

PC

(0≤λ≤1)，
則

AE

=

PE

-

PA

=(4λ，0，4

3

(1-λ))．
設(shè)平面AED的法向量

n1

為（x，y，z），
則

n1 • AD =2x+y=0 n1 • AE =4λx+4 3 (1-λ)z=0

取x=1得y=-2，
所以平面AED的一個(gè)法向量

n1

為(1，-2，

λ

(λ-1) 3

)； …（8分）
同理平面ABE的一個(gè)法向量

n2

為(1，2，

λ

(λ-1) 3

)；    …（10分）
因?yàn)槠矫鍮EA⊥平面DEA，
所以

n1

•

n2

=-3+

λ2

3(λ-1)2

=0，
得λ=

3

2

＞1（舍去），λ=

3

4

∈(0，1)，…（12分）
所以

BE

=

BP

+

PE

=(1，1，

3

)．
又因?yàn)槠矫鍭BCD的一個(gè)法向量

n3

為（0，0，1），
所以cos＜

BE

，n3＞=

3

5

，…（14分）
故直線BE與平面ABCD所成角的正切值為

6

2

．…（15分）
解法2：如圖，在三角形ABE中，作BF⊥EA，垂足為F，連接DF，OF，
因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面ADE，則BF⊥平面ADE，BF⊥FD．
因?yàn)镺F=BO=DO=1，BD⊥AC，BD⊥PA，
所以BD⊥面PAC，面PAC⊥面ABC，BD⊥AE…（8分）
所以AE⊥平面BDF，所以O(shè)F⊥FA，
因?yàn)镺A=2，所以∠FOA=60°，因?yàn)椤螾CA=60°，
所以PC∥OF，CE⊥AE．…（10分）
所以CE=

1

2

AC=2，取線段CO的中點(diǎn)G，
則EG⊥AC，EG⊥面ABCD，
所以∠EBG就是直線BE與平面ABCD所成的角．…（12分）
因?yàn)镃G=1，EG=

3

，BG=

2

，
所以tan∠EBG=

6

2

．
故直線BE與平面ABCD所成角的正切值為

6

2

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線線垂直，考查線面角，考查向量法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．