Question

【題目】已知，設(shè)函數(shù)，

（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范圍；

（2）對(duì)任意恒成立時(shí)，的最大值為1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析: （2,）,對(duì)討論，分①當(dāng)時(shí)， ②當(dāng)時(shí)， ③當(dāng)時(shí)， ④當(dāng)時(shí)，求出單調(diào)區(qū)間，極值，進(jìn)而確定最值，解不等式，即可得到t的范圍；

（2）運(yùn)用參數(shù)分離，得對(duì)任意恒成立，令，，由于的最大值為1．則恒成立．
對(duì)二次求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，求出極值和最值，判斷的單調(diào)性，即可得到的范圍．

試題解析:（1），

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴，由，得，在時(shí)無解，

②當(dāng)時(shí)，不合題意；

③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在遞減，在單調(diào)遞增，

∴即，∴，

④當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，滿足條件，

綜上所述：時(shí)，存在，使得是在上的最大值.

（2）對(duì)任意恒成立，

即對(duì)任意恒成立，

令，，

根據(jù)題意，可以知道的最大值為1，

則恒成立，

由于，則，當(dāng)時(shí)，，

設(shè)則，

，得，，

則在上遞減，在上遞增，則，

∴在上是增函數(shù).

∴，滿足條件，∴的取值范圍是.