Question

【題目】已知拋物線的焦點曲線的一個焦點， 為坐標原點，點為拋物線上任意一點，過點作軸的平行線交拋物線的準線于，直線交拋物線于點.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）求證：直線過定點，并求出此定點的坐標.

【答案】（I）；（II）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線化為標準方程，可求得的焦點坐標分別為，可得，所以，即拋物線的方程為；（Ⅱ）結合（Ⅰ），可設，得，從而直線的方程為,聯立直線與拋物線方程得，解得，直線的方程為，整理得的方程為，此時直線恒過定點.

試題解析：（Ⅰ）由曲線，化為標準方程可得， 所以曲線是焦點在軸上的雙曲線，其中，故， 的焦點坐標分別為，因為拋物線的焦點坐標為，由題意知，所以，即拋物線的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線的準線方程為，設，顯然.故，從而直線的方程為,聯立直線與拋物線方程得，解得

①當，即時，直線的方程為，

②當，即時，直線的方程為，整理得的方程為，此時直線恒過定點， 也在直線的方程為上，故直線的方程恒過定點.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知函數，

（Ⅰ）當時，求函數的單調遞減區間；

（Ⅱ）若時，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若數列滿足， ，記的前項和為，求證： .

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；（Ⅱ）當時，因為，所以顯然不成立，先證明因此時， 在上恒成立，再證明當時不滿足題意，從而可得結果；（III）先求出等差數列的前項和為，結合（II）可得，各式相加即可得結論.

試題解析：（Ⅰ）由，得.所以

令，解得或（舍去），所以函數的單調遞減區間為 .

（Ⅱ）由得，

當時，因為，所以顯然不成立，因此.

令，則，令，得.

當時， ， ，∴，所以，即有.

因此時， 在上恒成立.

②當時， ， 在上為減函數，在上為增函數，

∴，不滿足題意.

綜上，不等式在上恒成立時，實數的取值范圍是.

（III）證明：由知數列是的等差數列，所以

所以

由（Ⅱ）得， 在上恒成立.

所以. 將以上各式左右兩邊分別相加，得

.因為

所以

所以.