Question

【題目】據環保部門測定，某處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數為．現已知相距的兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為，它們連線上任意一點處（異于兩點）的污染指數等于兩化工廠對該處的污染指數之和．設．

（1）試將表示為的函數；

（2）若，且時，取得最小值，試求的值．

Answer 1

【答案】(1)， (2) 8．

【解析】

試題(1)解實際問題應用題，關鍵要正確理解題意，正確列出等量關系，注意考慮函數定義域. 設點C受A污染源污染程度為，點C受B污染源污染程度為，其中為比例系數，且．從而點C處受污染程度．定義域為(2) 因為，所以，，求復雜分式函數最值，通常考慮利用導數求解.,令，得，因此函數在單調減，在單調增，即在時函數取極小值，也是最小值. 又此時，解得，經驗證符合題意．

解：（1）設點C受A污染源污染程度為，點C受B污染源污染程度為，其中為比例系數，且． 4分

從而點C處受污染程度． 6分

（2）因為，所以，， 8分

，令，得， 12分

又此時，解得，經驗證符合題意．

所以，污染源B的污染強度的值為8． 14分