Question

已知橢圓C₁的中心和拋物線C₂的頂點都在坐標原點O，C₁和C₂有公共焦點F，點F在x軸正半軸上，且C₁的長軸長、短軸長及點F到C₁右準線的距離成等比數列．
（Ⅰ）當C₂的準線與C₁右準線間的距離為15時，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）設過點F且斜率為1的直線l交C₁于P，Q兩點，交C₂于M，N兩點．當|MN|=8時，求|PQ|的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設C₁：（a＞b＞0），由題意知C₂：y²=4cx．由條件知a=2c．C₁的右準線方程為x=4c．C₂的準線方程為x=-c．
由條件知c=3，a=6，．由此可知C₁：，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由題設知l：y=x-c，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．由，得x²-6cx+c²=0，所以x₁+x₂=6c．而|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=8c，由條件|MN|=8，得c=1．由此可知．
解答：解：（Ⅰ）設C₁：（a＞b＞0），其半焦距為c（c＞0）．則C₂：y²=4cx．
由條件知，得a=2c．C₁的右準線方程為，即x=4c．C₂的準線方程為x=-c．
由條件知5c=15，所以c=3，故a=6，．
從而C₁：，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由題設知l：y=x-c，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
由，得x²-6cx+c²=0，所以x₁+x₂=6c．
而|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=8c，由條件|MN|=8，得c=1．
由（Ⅰ）得a=2，．從而，C₁：，即3x²+4y²=12．
由，得7x²-8x-8=0．所以，．
故．
點評：本題考查了直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．