Question

（本小題滿分12分）

如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，.

（I）求證：平面平面；

（II）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）證明：見解析

（II）二面角的余弦值為 

【解析】本試題主要考查了面面垂直和二面角的求解的綜合運用。

（1）根據已知條件找到線面垂直，然后利用面面垂直的判定定理得到其證明。

（2）合理的建立空間直角坐標系，然后表示出點的坐標和向量的坐標，借助于平面的法向量，得到向量的夾角，從而得到二面角的平面角的大小。

（I）證明：取的中點，連接

    

     為等腰直角三角形

     ……………………………………2分

     又

     是等邊三角形

     ，又

     ，…………………………4分

     ，又

     平面平面;……………………………………6分

（II）以中點為坐標原點，以所在直線為軸,所在直線為軸，建立空間直角坐標系如圖所示，

則

 ……………………8分

設平面的法向量

，即，解得 ，

   

設平面的法向量

，即，解得，

…………………………………………………………10分

所以二面角的余弦值為   …………………………12分