Question

(本小題滿分12分）

已知直線l1:4x:-3y+6=0和直線l2x=-p/2:.若拋物線C:y2=2px上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.

(I )求拋物線C的方程；

(II)若以拋物線上任意一點M為切點的直線l與直線l2交于點N，試問在x軸上是否存 在定點Q，使Q點在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) 即在x軸上存在定點Q（1,0）在以MN為直徑的圓上

【解析】

試題分析：解: （Ⅰ）由定義知為拋物線的準線，拋物線焦點坐標

由拋物線定義知拋物線上點到直線的距離等于其到焦點F的距離.

所以拋物線上的點到直線和直線的距離之和的最小值為焦點F到直線的距離.…………2分

所以，則=2,所以，拋物線方程為.………………4分

（Ⅱ）設M，由題意知直線斜率存在，設為k,且,所以直線方程為,

代入消x得：

由………………6分

所以直線方程為，令x=-1,又由得

設則

由題意知……………8分

，把代入左式,

得：，……………10分

因為對任意的等式恒成立，

所以

所以即在x軸上存在定點Q（1,0）在以MN為直徑的圓上.……………12分

考點：本試題考查了拋物線的知識點。

點評：解決直線與圓錐曲線的位置關系的考查，一般采用設而不求的聯立方程組的思想來求解，結合韋達定理，和向量的數量積公式，來得到坐標之間的關系式，然后求解證明結論。對于點是否在圓上的問題，可以通過向量的數量積垂直來說明即可，中檔題。