Question

【題目】如圖，已知是直角梯形， ， ， ， ， 平面．

（Ⅰ）上是否存在點使平面，若存在，指出的位置并證明，若不存在，請說明理由；（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）若，求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ） ．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)當為中點時滿足題意，理由如下：

取的中點為，連結．由題意結合幾何關系可證得平面平面．理由面面平行的性質定理可得平面．

(Ⅱ)由題意結合勾股定理可得．理由幾何關系有．據此可得平面，則．

(Ⅲ)由題意可得： ．且，理由體積相等轉化頂點可得到平面的距離為．

試題解析：

（Ⅰ）當為中點時滿足題意

理由如下：

取的中點為，連結．

∵， ，

∴，且，

∴四邊形是平行四邊形，

即．

∵平面，

∴平面．

∵分別是的中點，∴，

∵平面，

∴平面．

∵，

∴平面平面．

∵平面，

∴平面．

（Ⅱ）由已知易得， ．

∵，

∴，即．

又∵平面， 平面，

∴．

∵，

∴平面

∵平面，

∴．

（Ⅲ）由已知得，所以．

又，則，由得，

∵，

∴到平面的距離為．