Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-（k²+k+1）x+15，g（x）=k²x-k，其中k∈R．
（1）設(shè)p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在（1，4）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)q(x)=

g(x)x≥0 f(x)x＜0

是否存在實(shí)數(shù)k，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得p（x）=2x²-（k+1）x+15-k 在（1，4）上有零點(diǎn)，分p（x）在（1，4）上有唯一零點(diǎn)和p（x）
在（1，4）上有2個(gè)零點(diǎn)，這兩種情況，分別求出實(shí)數(shù)k的取值范圍，再取并集，即得所求．
（2）根據(jù)q（x）的解析式可得k≠0，當(dāng)x≥0時(shí)，求得q（x）的值域當(dāng)x＜0時(shí)，求得q（x） 的值域，當(dāng)x₂＞0時(shí)，
可得k≤-15；②當(dāng)x₂＜0時(shí)，可得k≥-15，結(jié)合①②可得k的值．

解答：解：（1）由題意可得 p（x）=f（x）+g（x）=2x²-（k+1）x+15-k 在（1，4）上有零點(diǎn)．
∴△=（k²+2k+1）-8（15-k）≥0，解得 k≤-17，或 k≥7．
若p（x）在（1，4）上有唯一零點(diǎn)，則 p（1）p（4）=（16-2k）（43-5k）＜0 ①，
或

△＞0 P(1)=0 P(4)＞0

 ②，或 

△＞0 P(1)＞0 P(4)=0

 ③，或

P(1)＞0 P(4)＞0 △=0

 ④．
解①得 8＜k＜

43

5

，解②得k=8，解③得k∈∅，解④可得 k=7．
若p（x）在（1，4）上有2個(gè)零點(diǎn)，則有

△＞0 P(1)＞0 P(4)＞0 1＜ k+1 4 ＜4

，解得 7＜k＜8．
綜上可得，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[7，

43

5

）．
（2）函數(shù)q(x)=

g(x)x≥0 f(x)x＜0

，即 q(x)=

k 2x -k  ，  x ≥0  2x 2 -(k 2-k+1)x+15 ，  x＜0

．
顯然，k=0不滿足條件，故k≠0．
當(dāng)x≥0時(shí)，q（x）=k²x-k∈[-k，+∞）．
當(dāng)x＜0時(shí)，q（x）=2x²-（k²+k+1）x+15∈（15，+∞）．
記A=[-k，+∞），記 B=（15，+∞）．
①當(dāng)x₂＞0時(shí)，q（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，要使q（x₂）=q（x₁），則x₁＜0，且A?B，
故-k≥15，解得 k≤-15．
②當(dāng)x₂＜0時(shí)，q（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，要使q（x₂）=q（x₁），則x₁＞0，且B?A，
故-k≤15，解得 k≥-15．
綜上可得，k=-15滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．