Question

【題目】已知拋物線：，焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn).橢圓：分別以、為左、右焦點(diǎn)，其離心率，且拋物線和橢圓的一個(gè)交點(diǎn)記為.

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）在（1）的條件下，若直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）=1

（2）

【解析】

(1)當(dāng)時(shí),F(1,0),F(-1,0) 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(＞＞0),

∴=1,=∵,∴=2,=

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

(2) (ⅰ)若直線的斜率不存在，則：=1，且A（1，2），B（1，-2），∴=4

又∵的周長(zhǎng)等于=2+2=6

∴直線的斜率必存在.

ⅱ）設(shè)直線的斜率為，則：由，得

∵直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，

∴，且

設(shè)

則可得，.

于是==

=

=

=.

∵的周長(zhǎng)等于=2+2=6.

∴由=6，解得=.

故所求直線的方程為.