Question

已知ABCD是正方形，V是平面ABCD外一點，且VA=VB=VC=AB，求二面角A-VB-C的所成角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：如圖所示，建立空間直角坐標系．點O為正方形ABCD的對角線的交點，由于VA=VB=VC，可得VO⊥平面ABCD．
不妨取OA=1，可得A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），V（0，0，1）．

VB

=（1，0，-1），

AB

=（1，1，0），

BC

=（-1，1，0）．分別求出平面VAB與平面VBC的法向量，利用法向量的夾角即可得出二面角的平面角的余弦值．

解答： 解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
點O為正方形ABCD的對角線的交點，
∵VA=VB=VC，
∴VO⊥平面ABCD．
不妨取OA=1，
則A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），V（0，0，1）．

VB

=（1，0，-1），

AB

=（1，1，0），

BC

=（-1，1，0）．
設平面VAB的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • VB =x-z=0 n • AB =x+y=0

，
取

n

=（1，-1，1）．
同理可得：平面VBC的法向量

m

=（1，1，1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

3 × 3

=

1

3

．
由圖形可知：二面角A-VB-C的所成角為鈍角，
∴二面角A-VB-C的所成角的余弦值為-

1

3

．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角可得出二面角的平面角的余弦值的方法，考查了空間想象能力．考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．