Question

對定義域分別是D_f、D_g的函數y=f（x），y=g（x），規定：函數h（x）=

f(x)•g(x)    當x∈Df且x∈Dg 1      當x∈Df且x∉Dg -1   當x∉Df且x∈Dg

．
（1）若f（α）=sinα•cosα，g（α）=cscα，寫出h（α）的解析式；
（2）寫出問題（1）中h（α）的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數，且α∈[0，π]，請設計一個定義域為R的函數y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）根據題中的新定義列出h（α）的解析式即可；
（2）根據余弦函數的值域，以及h（α）的解析式，求出h（α）的范圍即可；
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

，可使h（x）=cos4x，理由為：根據若g（x）=f（x+α），利用誘導公式化簡求出cos2x-sin2x的值，再根據h（x）=f（x）f（x+α），利用平方差公式及二倍角的余弦函數公式即可得到結果．

解答：解：（1）根據題意得：h（α）=

cosα   (α≠kπ，k∈Z) 1  (α=kπ，k∈Z)

；
（2）h（α）的取值范圍是（-1，1]；
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

，
g（x）=f（x+α）=sin2（x+

π

4

）+cos2（x+

π

4

）=cos2x-sin2x，
則h（x）=f（x）f（x+α）=（sin2x+cos2x）（cos2x-sin2x）=cos4x．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，以及函數解析式的求解及常用方法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．