Question

【題目】在直角坐標系，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，直線的極坐標方程為

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）設直線與軸的交點為，經過點的動直線與曲線交于，兩點，證明：為定值

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；

【解析】

（1）將曲線參數方程平方相加，即可消去參數得到普通方程，將直線方程展開，利用代入，即可求出直角坐標方程；

（2）由（1）得，設直線參數方程為為參數），代入曲線普通方程中，設交點，對應的參數為，根據根與系數關系得出的值，結合直線參數的幾何意義即可證明.

（1）由得

由得，得，

的普通方程是，的直角坐標方程為.

（2）由（1）知

設的參數方程為為參數），

代入的方程得，當時，

設方程的兩根為

，所以為定值.