Question

已知數列的前項和為，且滿足 ()，，設，．
（1）求證：數列是等比數列；
（2）若≥，，求實數的最小值；
（3）當時，給出一個新數列，其中，設這個新數列的前項和為，若可以寫成 (且)的形式，則稱為“指數型和”．問中的項是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）根據等比數列的定義，相鄰兩項的比值為定值。
（2）-9
（3）①當為偶數時，，存在正整 數，使得，，,，所以且，
相應的，即有，為“指數型和”；        
②當為奇數時，，由于是個奇數之和，仍為奇數，又為正偶數，所以不成立，此時沒有“指數型和

試題分析：解：（1），，，當時，
=2，所以為等比數列． ，．
（2） 由（1）可得   
；  ，   ，
所以，且．所以的最小值為-9
（3）由（1）當時 ，
當時，，，
所以對正整數都有．                   
由，，(且)，只能是不小于3的奇數．
①當為偶數時，，
因為和都是大于1的正整數，
所以存在正整 數，使得，，
,，所以且，
相應的，即有，為“指數型和”；        
②當為奇數時，，由于是個奇數之和，
仍為奇數，又為正偶數，所以不成立，此時沒有“指數型和”
點評：解決的關鍵是能利用數列的定義和數列的單調性來求解參數的值，同事能借助于新定義來求解，屬于基礎題。