Question

定義在定義域D內的函數y=f（x），若對任意的x₁、x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，則稱函數y=f（x）為“媽祖函數”，否則稱“非媽祖函數”．試問函數f（x）=x³-x+α（x∈[-1，1]，α∈R）是否為“媽祖函數”？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：解：根據|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（x）_max-f（x）_min|，我們只要求得函數的最大值和最小值，看差的絕對值是否小于1即可，因為函數f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是高次函數，所以用導數法來求其最大值和最小值即可．
解答：解：因為|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|，
函數f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]導數是f′（x）=3x²-1
當3x²-1=0時，即x=±，當0＜x＜時，f′（x）=3x²-1＜0，當x＞時，
f′（x）=3x²-1＞0，故f（x）在x∈[0，1]內的極小值是a-，同理，
f（x）在[-1，0]內的極大值是a+，因為f（1）=f（-1）=a，
所以函數f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]的最大值是a+，最小值是a-，
故|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|=＜1
所以函數f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是“媽祖函數”．（2分）
點評：本題是一道新定義題，要理清定義的條件和結論，將問題轉化為已知的去解決，主要涉及了恒成立問題，函數的最值求法等．