Question

【題目】已知如圖，圓、橢圓均經(jīng)過點(diǎn)M，圓的圓心為，橢圓的兩焦點(diǎn)分別為.

（Ⅰ）分別求圓和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過作直線與圓交于、兩點(diǎn)，試探究是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ；(Ⅱ) 為定值，其值為2.

【解析】試題分析：（Ⅰ）通過計(jì)算圓心和半徑得圓的方程，根據(jù)計(jì)算a的值，及焦點(diǎn)得c即可得橢圓方程；

（Ⅱ）由直線和橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，利用坐標(biāo)表示，計(jì)算即可定值.

試題解析：

（Ⅰ）依題意知圓C的半徑，

∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；

∵橢圓過點(diǎn)M，且焦點(diǎn)為、，

由橢圓的定義得： ，

即，

∴， ，

∴橢圓E的方程為： .

【其它解法請(qǐng)參照給分】

（Ⅱ）顯然直線的斜率存在，設(shè)為，則的方程為，

由消去得：

，

顯然有解，

設(shè)、，則，

．

故為定值，其值為2.