Question

（08年山東卷理）(本小題滿分12分)

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分別是BC, PC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H為PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E―AF―C的余弦值.

 

Answer 1

【解析】（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形.

因?yàn)?I>E為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.

    又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因?yàn)?I>PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.

（Ⅱ）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點(diǎn)，連接AH，EH.

由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

所以 當(dāng)AH最短時(shí)，∠EHA最大，

即 當(dāng)AH⊥PD時(shí)，∠EHA最大.

此時(shí)tan∠EHA=

因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以 PA=2.

解法一：因?yàn)?I>PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

        所以平面PAC⊥平面ABCD.

        過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，

        過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，

       在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=,

       又F是PC的中點(diǎn)，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=,

       又

       在Rt△ESO中，cos∠ESO=

       即所求二面角的余弦值為

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以

E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（），

所以

設(shè)平面AEF的一法向量為

則

因此

取

因?yàn)?BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以 BD⊥平面AFC，

故 為平面AFC的一法向量.

又 =（-），

所以 cos＜m,

因?yàn)槎�面�?I>E-AF-C為銳角，

所以所求二面角的余弦值為