Question

已知A、B、C三點的坐標分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈(

π

2

，

3π

2

)．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）根據兩向量的模相等，利用兩點間的距離公式建立等式求得tanα的值，根據α的范圍求得α．
（2）根據向量的基本運算根據

AC

•

BC

=-1求得sinα和cosα的關系式，然后同角和與差的關系可得到2sinαcosα=-

5

9

，再由

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

sinα+cosα

=2sinαcosα可確定答案．

解答：解：（1）∵|

AC

|=|

BC

|，
∴

(3-cosα)2+(0-sinα)2

=

(0-cosα)2+(3-sinα)2

化簡得tanα=1
∵α∈(

π

2

，

3π

2

)．
∴α=

5π

4

．
（2）∵

AC

•

BC

=-1，
∴（cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=-1，
∴sinα+cosα=

2

3

∴2sinαcosα=-

5

9

，
∴

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

sinα+cosα

=2sinαcosα=-

5

9

．

點評：本題主要考查兩角和與差的基本關系和三角與向量的綜合題．三角函數與向量的綜合題是高考的重點，每年必考的，一定多復習．