Question

（本小題滿分14分）

已知函數

   （I）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；

   （II）設函數，當h（x）存在最小值時，求其最小值的解析式；

   （III）對（II）中的，證明：當時，

 

Answer 1

【答案】

（I），

由已知得解得，

∴兩條曲線交點的坐標為，切線的斜率為

∴切線的方程為 

   （II）由條件知

（i）當

當上遞減；

當上遞增。

是上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是h（x）的最小值點。

∴最小值

（ii）當上遞增，無最小值。

故h（x）的最小值的解析式為

   （III）由（II）知

則

當上遞增，

當上遞減。

處取得最大值

上有且只有一個極值點，所以也是的最大值。、

時，總有

【解析】略