Question

【題目】在如圖所示的棱長為1的正方體中，點P在側面所在的平面上運動，則下列命題中正確的（ ）

A.若點P總滿足，則動點P的軌跡是一條直線

B.若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是一個周長為的圓

C.若點P到直線AB的距離與到點C的距離之和為1，則動點P的軌跡是橢圓

D.若點P到直線AD與直線的距離相等，則動點P的軌跡是雙曲線

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

A.根據平面，判斷點的軌跡；B.根據平面與球相交的性質，判斷選項；C.由條件可轉化為，根據橢圓的定義判斷；D.由條件建立坐標系，求點的軌跡方程，判斷軌跡是否是雙曲線.

A.在正方體中，平面，

所以，所以平面，

平面，所以，

同理，所以平面，

而點P在側面所在的平面上運動，且，

所以點的軌跡就是直線，故A正確；

B.點的軌跡是以為球心，半徑為的球面與平面的交線，

即點的軌跡為小圓，設小圓的半徑為，

球心到平面的距離為1，則，

所以小圓周長，故B正確；

C. 點P到直線AB的距離就是點到點的距離，

即平面內的點滿足，

即滿足條件的點的軌跡就是線段，不是橢圓，故C不正確；

D.如圖，過分別做于點，于點，

則平面，所以，過做，連結，

，所以平面，所以，

如圖建立平面直角坐標系，設，

，則，，

即，整理為：，

則動點的軌跡是雙曲線，故D正確.

故選：ABD