Question

如圖，已知橢圓C：，經過橢圓C的右焦點F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓G于A、B兩點，M為線段AB的中點，設O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點．
（1）是否存在k，使對任意m＞0，總有成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）橢圓C：，，c=m，∴F（m，0），直線AB：y=k（x-m），，（10k²+6）x²-20k²mx+10k²m²-15m²=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=，
x₁x₂=；則x_m=，，若存在k，使AB為ON的中點，∴．
∴，
即N點坐標為．由N點在橢圓上，則
即5k⁴-2k²-3=0．∴k²=1或k²=-（舍）．故存在k=±1使．
（2）=x₁x₂+k²（x₁-m）（x₂-m）=（1+k²）x₁x₂-k²m（x₁+x₂）+k₂m²=（1+k²）•，
由，得=-≤-2m²，
即k²-15≤-20k²-12，k2≤，∴，且k≠0．
分析：（1）橢圓C：，，c=m，F（m，0），直線AB：y=k（x-m），由，得（10k²+6）x²-20k²mx+10k²m²-15m²=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），然后結合韋達定理進行求解．
（2）=x₁x₂+k²（x₁-m）（x₂-m）=（1+k²）x₁x₂-k²m（x₁+x₂）+k₂m²=（1+k²）•由此結合，能夠導出實數k的取值范圍．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．