Question

【題目】某工廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，根據經驗知道，其次品率P與日產量x（萬件）之間大體滿足關系： ．（注：次品率=次品數/生產量，如P=0.1表示每生產10件產品，有1件為次品，其余為合格品）．已知每生產1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產量．
（1）試將生產這種儀器的元件每天的盈利額T（萬元）表示為日產量x（萬件）的函數；
（2）當日產量x為多少時，可獲得最大利潤？

Answer 1

【答案】
（1）解：當x≥6時，P= ，則T= x×2﹣ x×1=0．

當1≤x＜6時，P= ，則T=（1﹣ ）x×2﹣（ ）x×1= ．

綜上所述，日盈利額T（萬元）與日產量x（萬件）的函數關系為：T=

（2）解：由（1）知，當x≥6時，每天的盈利為0．

當1≤x＜6時，T（x）= =15﹣2[（6﹣x）+ ]≤15﹣12=3，

∴T≤3．

當且僅當x=3時，T=3．

綜上，當日產量為3萬件時，可獲得最大利潤3萬元

【解析】（1）每天的贏利為T=日產量（x）×正品率（1﹣P）×2﹣日產量（x）×次品率（P）×1，根據分段函數分段研究，整理即可；（2）利用基本不等式求函數的最大值．