Question

已知：以點C(t,)(t∈R,t≠0)為圓心的圓與軸交于點O,A，與y軸交于點O,B，其中O為原點

（1）求證：△OAB的面積為定值；

（2）設直線y=–2x+4與圓C交于點M,N，若OM=ON，求圓C的方程

 

Answer 1

(1)參考解析；(2)

【解析】

試題分析：(1)因為要證△OAB的面積為定值，關鍵是要求出A,B兩點的坐標 根據圓的半徑是即 所以可以寫出圓C的方程 從而分別令 即可求得A,B兩點的坐標 再根據 就即可證得結論

(2)因為直線y=–2x+4與圓C交于點M,N，若OM=ON 又因為 所以可得 由直線的斜率即可求得直線的斜率，從而得到直線的方程，在代入C (t,) 即可求得的值，再根據的值判斷直線與圓的關系 從而確定圓的方程

試題解析：（1）因為圓C過原點O，

設圓的方程是 令得；令得 所以,即的面積為定值

（2）因為垂直平分線段 因為,所以直線的方程是 所以，解得或 當時，圓心的坐標為

此時到直線的距離，

圓與直線相交于兩點 10分

當時，圓心的坐標為，，

此時到直線的距離

圓與直線不相交，

不符合題意舍去 11分

圓的方程為 13分

考點：1 圓的方程 2 直線與圓的方程 3 圓的對稱性