Question

已知k∈R，函數f（x）=m^x+kn^x（0＜m≠1，n≠1）．
（1）如果實數m，n滿足m＞1，mn=1，函數f（x）是否具有奇偶性？如果有，求出相應的k值，如果沒有，說明為什么？
（2）如果m＞1＞n＞0判斷函數f（x）的單調性；
（3）如果m=2，n=

1

2

，且k≠0，求函數y=f（x）的對稱軸或對稱中心．

Answer 1

分析：（1）如果f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x）即m^-x+kn^-x=m^x+kn^x恒成立，轉化成（n^x-m^x）（k-1）=0，根據n^x-m^x=0不恒成立，可求出k的值，如果f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x）即m^-x+kn^-x=-m^x-kn^x恒成立，可轉化成（n^x+m^x）（k+1）=0，根據n^x+m^x=0不恒成立，可求出k的值；
（2）根據m＞1＞n＞0，則

m

n

＞1，當k≤0時，顯然f（x）=m^x+kn^x在R上為增函數，當k＞0時，求出導函數f'（x），令f'（x）=0求出極值點，從而求出函數的單調區間；
（3）當m=2，n=

1

2

時，f（x）=2^x+k2^-x，如果k＜0，根據f（log₂（-k）-x）=-f（x）得到函數y=f（x）有對稱中心（

1

2

log₂（-k），0），如果k＞0，根據f（log₂k-x）=f（x）得到函數y=f（x）有對稱軸x=

1

2

log₂k．

解答：（本題滿分16分）
解：（1）如果f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x）即m^-x+kn^-x=m^x+kn^x恒成立，（1分）
即：n^x+km^x=m^x+kn^x，（n^x-m^x）+k（m^x-n^x）=0，則 （n^x-m^x）（k-1）=0（2分）
由n^x-m^x=0不恒成立，得k=1（3分）
如果f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x）即m^-x+kn^-x=-m^x-kn^x恒成立，（4分）
即：n^x+km^x=-m^x-kn^x，（n^x+m^x）+k（m^x+n^x）=0，則 （n^x+m^x）（k+1）=0（5分）
由n^x+m^x=0不恒成立，得k=-1（6分）
（2）m＞1＞n＞0，則

m

n

＞1，
∴當k≤0時，顯然f（x）=m^x+kn^x在R上為增函數；（8分）
當k＞0時，f'（x）=m^xlnm+kn^xlnn=[(

m

n

)xlnm+klnn]n^x=0，
由n^x＞0得(

m

n

)xlnm+klnn=0得(

m

n

)x=-k

lnn

lnm

=-klog_mn得x=log

m

n

(-klogmn)．（9分）
∴當x∈（-∞，log

m

n

(-klogmn)]時，f'（x）＜0，f（x）為減函數； （10分）
當x∈[log

m

n

(-klogmn)，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數．（11分）
（3）當m=2，n=

1

2

時，f（x）=2^x+k2^-x
如果k＜0，f（x）=2^x+k2^-x=2^x-（-k）2^-x=2^x-2log2(-k)-x，（13分）
則f（log₂（-k）-x）=-f（x）∴函數y=f（x）有對稱中心（

1

2

log₂（-k），0）（14分）
如果k＞0，f（x）=2^x+k2^-x=2^x+2log2k-x，（15分）
則f（log₂k-x）=f（x）
∴函數y=f（x）有對稱軸x=

1

2

log₂k．（16分）

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷，以及利用導數研究函數的單調性和圖形的對稱性，同時考查了計算能力和轉化的數學思想，屬于難題．