Question

已知關于x的方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0有兩個正整數根（m 是整數）．△ABC的三邊a、b、c滿足c=2

3

，m²+a²m-8a=0，m²+b²m-8b=0．
求：（1）m的值；
（2）△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）先求出方程的兩個根，然后根據這兩個根都是正整數寫出m的可能的情況，求出m的值．
（2）由（1）得出的m的值，然后代入將m²+a²m-8a=0，m²+b²m-8b=0進行化簡，得出a，b的值．然后再根據三角形三邊的關系來確定符合條件的a，b的值，用三角形的面積公式得出三角形的面積．

解答：解：（1）方程有兩個實數根，則m²-1≠0，
解方程得x1=

6

m+1

，x2=

3

m-1

．由題意，得

m+1=1，2，3，6 m-1=1，3

即

m=0，1，2，5 m=2，4.

故m=2．
（2）把m=2代入兩等式，化簡得a²-4a+2=0，b²-4b+2=0，
當a=b時，a=b=2±

2

．
當a≠b時，a、b是方程x²-4x+2=0的兩根，而△＞0，
由韋達定理得，a+b=4＞0，ab=2＞0，則a＞0、b＞0．
①a≠b，c=2

3

時，由于a²+b²=（a+b）²-2ab=16-4=12=c²
故△ABC為直角三角形，且∠C=90°，S_△ABC=

1

2

ab=1．
②a=b=2-

2

，c=2

3

時，因2(2-

2

)＜2

3

，
故不能構成三角形，不合題意，舍去．
③a=b=2+

2

，c=2

3

時，因2(2+

2

)＞2

3

，故能構成三角形．
S_△ABC=

1

2

×2

3

×

(2+ 2 )2-( 3 )2

=

9+12 2

綜上，△ABC的面積為1或

9+12 2

．

點評：本題考查了二元一次方程根與系數的關系以及勾股定理等知識點，本題解題的關鍵是分類對a，b的值進行討論，并通過計算得出三角形的形狀．