Question

已知向量

a

=（2cosx，cos2x），

b

=（sinx，1），令f（x）=

a

•

b

，
（I）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當x∈[

π

8

，

3π

8

]且f（x）=

2

2

，求cos2x的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數量積，二倍角與兩角和的正弦函數化簡函數為 一個角的一個三角函數的形式，通過正弦函數的單調性求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）通過x∈[

π

8

，

3π

8

]得到2x+

π

4

∈[

π

2

，π]結合f（x）=

2

2

，求出2x的值，然后求cos2x的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=2sinx•cosx+cos2x=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)
解-

π

2

+2kπ＜2x+

π

4

＜

π

2

+2kπ，k∈Z得-

3π

8

+kπ＜x＜

π

8

+kπ，k∈Z
∴f（x）的單調遞增區間是(-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ)(k∈Z)
（Ⅱ）當x∈[

π

8

，

3π

8

]時，2x+

π

4

∈[

π

2

，π]，由f（x）=

2

2

得sin(2x+

π

4

)=

1

2

∴2x+

π

4

=

5π

6

，解得2x=

7π

12

，
所以cos2x=cos

7π

12

=cos105°=

2 - 6

4

點評：本題是中檔題，考查三角函數的基本性質的應用，考查計算能力，常考題型．