Question

（2013•宜賓二模）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如圖2．
（Ⅰ）求證：平面A₁BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE與平面A₁BC所成角的余弦值；
（Ⅲ）當(dāng)D點(diǎn)在何處時(shí)，A₁B的長度最小，并求出最小值．

Answer 1

分析：（I）由題意，得DE⊥AD且DE⊥DC，從而DE⊥平面A₁DC．結(jié)合DE∥BC，得BC⊥平面A₁DC，由面面垂直判定定理即可得到平面A₁BC⊥平面A₁DC；
（II）以D為原點(diǎn)，DE、DC、DA₁分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，可得A₁、B、C、E各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量

BE

、

A1C

、

CB

的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出

m

=(0，2，1)是平面A₁BC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式算出

m

、

BE

的夾角余弦值，即可得到BE與平面A₁BC所成角的余弦值；
（III）設(shè)CD=x，得A₁D=6-x，從而得到A₁、B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式得到用x表示|A₁B|的式子，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出A₁B的長度的最小值．

解答：解：（Ⅰ）在圖1中△ABC中，DE∥BC，AC⊥BC，∴DE⊥AC
由此可得圖2中，DE⊥AD，DE⊥DC，
又∵A₁D∩DC=D，∴DE⊥平面A₁DC．
∵DE∥BC，∴BC⊥平面A₁DC，
又∵BC?平面A₁BC，∴平面A₁BC⊥平面A₁DC…（4分）
（Ⅱ）由（1）知A₁D⊥DE，A₁D⊥DC，DC⊥DE，
故以D為原點(diǎn)，DE、DC、DA₁分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系．
則E（2，0，0），B（3，2，0），C（0，2，0），A₁（0，0，4）
∴

BE

=(-1，-2，0)，

A1C

=(0，2，-4)，

CB

=(3，0，0)，
設(shè)平面A₁BC的一個(gè)法向量為

m

=(x，y，z)，
則

m • A1C =2y-4z=0 m • CB =3x=0

，取y=2可得

m

=(0，2，1)，
設(shè)直線BE與平面A₁BC所成角θ，
可得sinθ=|cos＜

m

，

BE

＞|=|

-4

5 • 5

|=

4

5

即直線BE與平面A₁BC所成角的余弦值為

3

5

．…（8分）
（Ⅲ）設(shè)CD=x，則A₁D=6-x，
在（II）的坐標(biāo)系下，可得B（3，x，0），A₁（0，0，6-x），
∴|A1B|=

9+x2+(6-x)2

=

2x2-12x+45

(0＜x＜6)，
∵2x²-12x+45=2（x-3）²+27，∴當(dāng)x=3時(shí)，

2x2-12x+45

的最小值為3

3

．
由此可得當(dāng)x=3時(shí)，|A₁B|最小值為3

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以平面圖形的折疊為例，求證線面垂直并求直線與平面所成角，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量研究線面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．