Question

【題目】為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件數，求P（X≥1）及X的數學期望；
（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．
（ⅰ）試說明上述監控生產過程方法的合理性；
（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

經計算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用樣本平均數 作為μ的估計值 ，用樣本標準差s作為σ的估計值 ，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的數據，用剩下的數據估計μ和σ（精確到0.01）．
附：若隨機變量Z服從正態分布N（μ，σ2），則P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之內的概率為0.9974，

則落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率為1﹣0.9974=0.0026，

因為P（X=0）= ×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，

所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，

又因為X～B（16，0.0026），

所以E（X）=16×0.0026=0.0416；

（2）

（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率為0.0026，

由正態分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外為小概率事件，

因此上述監控生產過程方法合理；

（ⅱ）因為用樣本平均數 作為μ的估計值 ，用樣本標準差s作為σ的估計值 ，

且 = =9.97，s= = ≈0.212，

所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334， +3 =9.97+3×0.212=10.606，

所以9.22（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），

因此需要對當天的生產過程進行檢查，剔除（ ﹣3 +3 ）之外的數據9.22，

則剩下的數據估計μ= =10.02，

將剔除掉9.22后剩下的15個數據，利用方差的計算公式代入計算可知σ2≈0.008，

所以σ≈0.09．

【解析】（1.）通過P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二項分布的期望公式計算可得結論；
（2.）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外為小概率事件可知該監控生產過程方法合理；
（ⅱ）通過樣本平均數 、樣本標準差s估計 、 可知（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），進而需剔除（ ﹣3 +3 ）之外的數據9.22，利用公式計算即得結論．