Question

（2009•襄陽模擬）已知數列{a_n}的前n項和S_n是二項式（1+2x）²ⁿ（n∈N^* ）展開式中含x奇次冪的系數和．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設f（n）=

4

9an+12

，求f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

n

）；
（3）證明：

a2

(a2-4)(a3-4)

+

a3

(a3-4)(a4-4)

+…+

an

(an-4)(an+1-4)

≥

1

256

（1-

1

4n2-3n

）．

Answer 1

分析：（1）記（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+…+a_2nx²ⁿ，利用賦值可分別令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+…+a_2n，令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n兩式相減得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1），從而可求
（2）由（1）可得f(n)=

4

4×9n+12

=

1

9n+3

，注意到f（n）+f（1-n）=

1

3

，從而可考慮利用倒序相加求和即可
（3）由

an

(an-4)(an+1-4)

=

4×9n-1

(4×9n-1-4)(4×9n-4)

=

9n-1

4(9n-1-1)(9n-1)

=

1

32

(

1

9n-1-1

-

1

9n-1

)，故可以利用裂項求和先求和，然后利用二展開式進行放縮可證

解答：解：（1）記（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+…+a_2nx²ⁿ
令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+…+a_2n
令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n
兩式相減得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）
∴Sn=

1

2

(9n-1)（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4×9^n-1
當n=1時，a₁=S₁=4，適合上式
∴a_n=4×9^n-1（4分）
（2）f(n)=

4

4×9n+12

=

1

9n+3

注意到f(n)+f(1-n)=

1

9n+3

+

1

91-n+3

=

1

9n+3

+

9n

9+3×9n

=

1

3

（6分）
令T=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)
則T=f(

n

n

)+f(

n-1

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)
∴2T=[f(0)+f(

n

n

)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(

n-1

n

)+f(

1

n

)]+[f(

n

n

)+f(0)]
故T=

n+1

6

，即f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

n

）=

n+1

6

（8分）
（3）

an

(an-4)(an+1-4)

=

4×9n-1

(4×9n-1-4)(4×9n-4)

=

9n-1

4(9n-1-1)(9n-1)

=

1

32

(

1

9n-1-1

-

1

9n-1

) （n≥2）（10分）
∴Sn=

1

32

[(

1

9-1

-

1

92-1

)+(

1

92-1

-

1

93-1

)+…+ (

1

9n-1-1

-

1

9n-1

)]
=

1

32

(

1

8

-

1

9n-1

)（12分）
∵9ⁿ-1=（8+1）ⁿ-1=C_n¹×8+C_n²×8²+…+C_nⁿ8ⁿ≥

C

1 n

×8+

C

2 n

×82=8n+82×

n(n-1)

2

=8（4n²-3n）
從而可得，

a2

(a2-4)(a3-4)

+

a3

(a3-4)(a4-4)

+…+

an

(an-4)(an+1-4)

≥

1

256

（1-

1

4n2-3n

）．（14分）

點評：本題主要考查了利用賦值法求二項展開式的系數，及數列求和中的倒序相加、裂項求和等方法的應用，還要注意放縮法在證明不等式中的應用．