Question

設二次函數，對任意實數，有恒成立；數列滿足.
（1）求函數的解析式和值域；
（2）證明：當時，數列在該區間上是遞增數列；
（3）已知，是否存在非零整數，使得對任意，都有
 恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)，值域為；（2）證明見解析；（3）存在，且．

試題分析：（1）這是一個不等式恒成立問題，把不等式轉化為恒成立，那么這一定是二次不等式，恒成立的條件是可解得，從而得到的解析式，其值域也易求得；（2）要證明數列在該區間上是遞增數列，即證，也即，根據的定義，可把化為關于的二次函數，再利用，可得結論；（3）這是一道存在性問題，解決問題的方法一般是假設存在符合題意的結論，本題中假設存在，使不等式成立，為了求出，一般要把不等式左邊的和求出來，這就要求我們要研究清楚第一項是什么？這個和是什么數列的和？由，從而，
，不妨設，則（），對這個遞推公式我們可以兩邊取對數把問題轉化為，這是數列的遞推公式，可以變為一個等比數列，方法是上式可變為，即數列是公比為2的等比數列，其通項公式易求，反過來，可求得，從而求出不等式左邊的和，化簡不等式．
試題解析：（1）由恒成立等價于恒成立，
從而得：，化簡得，從而得，所以，
3分
其值域為.                                        4分
（2）解：  
6分
， 8分
從而得，即，所以數列在區間上是遞增數列.    10分
（3）由（2）知，從而；
，即；
12分
令，則有且；
從而有，可得，所以數列是為首項，公比為的等比數列，
從而得，即，
所以 ，
所以，所以，
所以，
.
即，所以，恒成立.       15分
當為奇數時，即恒成立，當且僅當時，有最小值為.       16分
當為偶數時，即恒成立，當且僅當時，有最大值為.      17分
所以，對任意，有.又非零整數，      18分，的數列通項公式，等比數列的前項和．