Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，D，E，F分別是棱AB，BC，B1C1的中點，G是棱BB1上的動點．
（1）當 為何值時，平面CDG⊥平面A1DE？
（2）求平面AB1F與平面AD1E所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當G為BB1中點（即 ）時，平面CDG⊥平面A1DE．

證明如下：由于DE∥AC且 ，∴ ，故D，E，C1，A1四點共面．

連接C1E交GC于H．在正方形CBB1C1中， ，故∠CHE=90°，即CG⊥C1E．又A1C1⊥平面CBB1C1，CG平面CBB1C1，所以DE⊥CG，又因為C1E∩DE=E，故CG⊥平面A1DE，從而平面CDG⊥平面A1DE

（2）解：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，

于是可以以C為原點，CA，CB，CC1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

如圖所示．

因為AC=BC=CC1=2，D，E，F分別是棱AB，BC，B1C1的中點，

所以A1（2，0，2），D（1，1，0），E（0，1，0），B（0，2，0），F（0，1，2），

G（0，2.1）， =（﹣2，2，﹣2）， =（﹣2，1，0）．

由（1）知平面A1DE的法向量為 =（0，2，1），

設平面A1BF的法向量為 =（x，y，z），則 ，即： ，

令x=1得 ，

設平面A1BF與平面A1DE所成的銳二面角為θ，

則cosθ= = = ．

【解析】（1）當G為BB1中點（即 ）時，平面CDG⊥平面A1DE．證明D，E，C1 ， A1四點共面．連接C1E交GC于H．證明CG⊥C1E．DE⊥CG，推出CG⊥平面A1DE，即可證明平面CDG⊥平面A1DE．（2）以C為原點，CA，CB，CC1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出平面A1DE的法向量，平面A1BF的法向量，設平面A1BF與平面A1DE所成的銳二面角為θ，利用數量積求解即可．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．