Question

某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處（如圖所示）.已知PA=100 m，PB=150 m,∠APB=60°,試說明怎樣運土最省工.

Answer 1

剖析：首先抽象為數學問題，半圓中的點可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠.

    顯然，第三類點是第一、二類的分界點，設M是分界線上的任意一點.則有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜.

    于是｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=150-100=50.

    從而發現第三類點M滿足性質：點M到點A與點B的距離之差等于常數50，由雙曲線定義知，點M在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，故問題轉化為求此雙曲線的方程.

解：以AB所在直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系xOy,設M(x,y)是沿AP、BP運土同樣遠的點，則

    ｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜,

    ∴｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=50.

    在△PAB中，由余弦定理得｜AB｜²=｜PA｜²+｜PB｜²-2｜PA｜｜PB｜cos60°=17 500,

且50＜｜AB｜.由雙曲線定義知M點在以A、B為焦點的雙曲線右支上，設此雙曲線方程為-=1(a＞0,b＞0).

    ∵

    解之得

    ∴M點軌跡是-=1(x≥25)在半圓內的一段雙曲線弧.于是運土時將雙曲線左側的土沿AP運到P處，右側的土沿BP運到P處最省工.

講評：（1）本題是不等量與等量關系問題，涉及到分類思想，通過建立直角坐標系，利用點的集合性質，構造圓錐曲線模型（即分界線）從而確定出最優化區域.

（2）應用分類思想解題的一般步驟：①確定分類的對象；②進行合理的分類；③逐類逐級討論；④歸納各類結果.