Question

（Ⅰ）設x≥1，y≥1，證明x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy；
（Ⅱ）1≤a≤b≤c，證明log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，首先對原不等式進行變形有x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy?xy（x+y）+1≤x+y+（xy）²；再用做差法，讓右式-左式，通過變形、整理化簡可得右式-左式=（xy-1）（x-1）（y-1），又由題意中x≥1，y≥1，判斷可得右式-左式≥0，從而不等式得到證明．
（Ⅱ）首先換元，設log_ab=x，log_bc=y，由換底公式可得：log_ba=

1

x

，log_cb=

1

y

，log_ac=

1

xy

，log_ac=xy，將其代入要求證明的不等式可得：x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy；又有log_ab=x≥1，log_bc=y≥1，借助（Ⅰ）的結論，可得證明．

解答：證明：（Ⅰ）由于x≥1，y≥1；則x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy?xy（x+y）+1≤x+y+（xy）²；
用作差法，右式-左式=（x+y+（xy）²）-（xy（x+y）+1）
=（（xy）²-1）-（xy（x+y）-（x+y））
=（xy+1）（xy-1）-（x+y）（xy-1）
=（xy-1）（xy-x-y+1）
=（xy-1）（x-1）（y-1）；
又由x≥1，y≥1，則xy≥1；即右式-左式≥0，從而不等式得到證明．
（Ⅱ）設log_ab=x，log_bc=y，
由換底公式可得：log_ba=

1

x

，log_cb=

1

y

，log_ca=

1

xy

，log_ac=xy，
于是要證明的不等式可轉化為x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy；
其中log_ab=x≥1，log_bc=y≥1，
由（Ⅰ）的結論可得，要證明的不等式成立．

點評：本題考查不等式的證明，要掌握不等式證明常見的方法，如做差法、放縮法；其次注意（Ⅱ）證明在變形后用到（Ⅰ）的結論，這個高考命題考查轉化思想的一個方向．