Question

【題目】如圖，一次函數y＝mx＋2m+3的圖像與y＝－x的圖像交于點C，且點C的橫坐標為－3，與x軸、y軸分別交于點A、點B．

（1）求m的值與AB的長；

（2）若點D（9，0），連結BD，求證△ABD為直角三角形.

（3）在y軸上是否存在點P，使得△ABP為等腰三角形，若存在請求出P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=；；（2）見解析；（3）存在，（6－，0）或（6＋，0）或（0,﹣6）或（0，）.

【解析】

（1）先求出C點坐標，然后將C點坐標代入一次函數解析式中，即可求出m，然后分別求出A、B兩點坐標，根據勾股定理即可求出AB的長；

（2）先計算出AD的長，然后根據勾股定理求出BD，再根據勾股定理的逆定理，即可證出△ABD為直角三角形；

（3）根據等腰三角形的腰的情況分類討論，然后分別求出點P的坐標即可.

解：（1）將x=－3代入y＝－x中得：y=

∴C點坐標為：（－3，）

將C點坐標代入y＝mx＋2m+3中，得：＝－3m＋2m+3

解得：m=

∴一次函數的解析式為：y＝x＋6

當x=0時，y=6，當y=0時，x=﹣4

∴B點坐標為（0,6），點A的坐標為（﹣4，0）

∴OB=6，OA=4

根據勾股定理：AB=；

（2）∵點A的坐標為（﹣4，0），點D點坐標為（9，0）

∴AD=9－（﹣4）=13

根據勾股定理：BD=

∵AB2+BD2=169，AD2=169

∴AB2+BD2= AD2

∴△ABD為直角三角形

（3）存在，

①若BP=BA時

如下圖所示，此時也有兩種情況，

∵AB=，點B的坐標為（0,6）

∴P1的坐標為（6－，0），P2的坐標為（6＋，0）；

②若AB=AP時，如下圖所示：

∵AO⊥BP

∴BO=OP

∴此時點P的坐標為（0,﹣6）；

③若BP=AP時，如下圖所示

設OP=x，則PB=PA=6－x

根據勾股定理：

即：

解得：

此時P點坐標為（0，）

綜上所述：P點坐標為：（6－，0）或（6＋，0）或（0,﹣6）或（0，）.