(本小題12分)如圖， 
、
分別是正四棱柱
上、下底面的中
心，
是
的中點，
.
（Ⅰ）求證：
∥平面
；
（Ⅱ當
取何值時，在平面內的射影恰好為
的重心?
(Ⅰ)證明 見解析；
|
時，
在平面
內的射影恰好為
的重心.
【解析】本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面平行，法向量的求法，直線與平面所成的角，考查計算能力．
（1）以點O為原點，直線OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設AB=2
，然后利用平面向量基本定理來證明線面平行。
（2）先由（Ⅰ）知△PBC的重心G坐標，然后利用利用數量積垂直關系為0，得到參數k的值。
以點為原點，直線
所在直線分別為
軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
不妨設
，
則得
、
、
、
、
(Ⅰ)證明 由上得
、
、
，設
得
解得
， ∴
，
∴
∥平面
|
的重心
為
，則
，
若在平面內的射影恰好為的重心，則有
，解得
∴當時，在平面內的射影恰好為的重心.
科目：高中數學 來源：2010-2011學年湖南省常德市高三質量檢測考試數學理卷 題型：解答題
（本小題12分）
如圖3，已知在側棱垂直于底面
的三棱柱
中，AC=BC, AC⊥BC,點D是A1B1中點.
(1)求證：平面AC1D⊥平面A1ABB1;
(2)若AC1與平面A1ABB1所成角的正弦值
為
，求二面角D- AC1-A1的余弦值.
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年河北省高三高考壓軸模擬考試文數 題型：解答題
（本小題12分）如圖，四棱錐
中，
側面
是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面
是
的菱形，
為
的中點.
(1)求
與底面所成角的大小；
(2)求證：
平面
；
(3)求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源：2014屆海南省高一上學期教學質量監測三數學 題型：解答題
（本小題12分）如圖，四棱錐
中，底面
是正方形，
, 
底面, 
分別在
上，且
（1）求證：平面
∥平面
．
（2）求直線
與平面面所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源：2010-2011年海南省高二下學期質量檢測數學文卷（一） 題型：解答題
（本小題12分）
如圖：⊙O為△ABC的外接圓，AB=AC，過點A的直線交⊙O于D，交BC延長線于F，DE是BD的延長線，連接CD。
① 求證：∠EDF=∠CDF；
②求證：AB2=AF·AD。
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科目：高中數學 來源：2009-2010集寧一中學高三年級理科數學第一學期期末考試試題 題型：解答題
（本小題12分）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，
（I）求證：
平面BCD；
（II）求異面直線AB與CD所成角的大小；
（III）求點E到平面ACD的距離。
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