Question

（2013•湖南模擬）設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，離心率為

1

2

，在x軸負半軸上有一點B，且

BF2

=2

BF1

．
（1）若過A、B、F₂三點的圓恰好與直線x-

3

y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a，所以|F₁F₂|=a，利用

BF2

=2

BF1

，可得F₁為BF₂的中點，從而可得△ABF₂的外接圓圓心為F1(-

a

2

，0)，半徑r=|F₁A|=a，根據過A、B、F₂三點的圓與直線x-

3

y-3=0相切，利用點到直線的距離公式，即可確定橢圓方程；
（2）由（1）知F₂（1，0），設l的方程為：y=k（x-1）與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合菱形對角線垂直，所以(

PM

+

PN

)•

MN

=0，可得m，k之間的關系，從而可得結論．

解答：解：（1）由題意

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a，所以|F₁F₂|=a
∵|AF₁|=|AF₂|=a，

BF2

=2

BF1

，∴F₁為BF₂的中點，
∴|AF₁|=|AF₂|=|F₁F₂|=a
∴△ABF₂的外接圓圓心為F1(-

a

2

，0)，半徑r=|F₁A|=a…（3分）
又過A、B、F₂三點的圓與直線x-

3

y-3=0相切，所以

|- 1 2 a-3|

2

=a
∴a=2，∴c=1，b²=a²-c²=3．
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）由（1）知F₂（1，0），設l的方程為：y=k（x-1）
將直線方程與橢圓方程聯立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

3+4k2

 ，  y1+y2=k(x1+x2-2)…（8分）
假設存在點P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，
由于菱形對角線垂直，所以(

PM

+

PN

)•

MN

=0
又

PM

+

PN

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=(x1+x2-2m， y1+y2)
又MN的方向向量是（1，k），故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，則k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
即k2(

8k2

3+4k2

-2)+

8k2

3+4k2

-2m=0
由已知條件知k≠0且k∈R，
∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

…（11分）
∴0＜m＜

1

4

，
故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是(0，

1

4

)…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，確定橢圓方程，正確運用韋達定理是關鍵．