Question

已知定義在R上的函數f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＞0，b＞0）周期為π，f(x)≤2，f(

π

4

)=

3

．
（1）寫出f（x）的表達式，并作出f（x）在[0，π]上的簡圖；
（2）寫出函數f（x）的單調遞增區間；
（3）說明f（x）的圖象如何由函數y=sinx的圖象經過變換得到．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）的表達式化為f(x)=

a2+b2

sin(ωx+?)，通過周期，最值以及f(

π

4

)=

3

，求出函數的表達式，直接作出f（x）在[0，π]上的簡圖；
（2）利用正弦函數的單調增區間直接求出函數f（x）的單調遞增區間；
（3）函數y=sinx的圖象經過向左平移，再將得到的函數圖象上的所有的點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

1

2

，縱坐標變為原來的2倍，得到結果．

解答：解：（1）∵f(x)=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin(ωx+?)，
∴T=π，f（x）≤2，f(

π

4

)=

3

．
∴ω=

2π

T

=2，

a2+b2

=2，sin(2×

π

4

+?)=

3

2

即cosθ=

3

2

，
∴?=

π

6

，f(x)=2sin(2x+

π

6

)
（2）由正弦的單調增區間可知：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，即在每個閉區間[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z單調遞增
（3）將函數y=2sinx的圖象向左平移

π

6

個單位，再將得到的函數圖象上的所有的點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

1

2

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，求三角函數的單調性，注意函數圖象的平移，五點法作圖的基本方法．考查計算能力．