Question

已知圓C:,直線L：.
（1）求證：對直線L與圓C總有兩個不同交點；
（2）設L與圓C交于不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）若定點P（1,1）分弦AB所得向量滿足，求此時直線L的方程.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）直線方程為或.

解析試題分析：（1）由直線L的方程可知，直線L恒過定點（1，1），而這個點在圓內，所以直線L與圓C總有兩個不同的交點；（2）設M（x,y）.當M不與P重合時，連接CM、CP，由于P是AB的中點，所以CMMP，用勾股定理便可得所求方程（或用向量的數量積等于0也可）.（3）設A（），B（）由可得.將直線與圓的方程聯立得.由韋達定理得，再將此與聯立得，代入方程得，從而得直線的方程.
試題解析：（1）直線恒過定點（1，1），且這個點在圓內，故直線L與圓C總有兩個不同的交點.
（2）當M不與P重合時，連接CM、CP，則CMMP，設M（x,y）
則
化簡得：
當M與P重合時，滿足上式.
（3）設A（），B（）由得.
將直線與圓的方程聯立得：       ..（*）

可得，代入（*）得
直線方程為或.
考點：直線與圓.