Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點.
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.

Answer 1

試題分析：本題第（1）問，證明直線與平面平行，可利用線面平行的判定定理來證明；對第（2）問，可先建立空間直角坐標系，由空間向量的坐標運算計算二面角，從而計算出AB，然后由棱錐的體積公式求出三棱錐的體積.
試題解析：（1）證明：設O為AC與BD交點，連結OE，則由矩形ABCD知：O為BD的中點，因為E是BD的中點，所以OE∥PB，因為OE面AEC，PB面AEC，所以PB∥平面AEC。
（2）以A為原點，直線AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設AB=m，則
是平面AED的一個法向量，設是平面AEC的法向量，則
，解得，，所以令，得，所以
=，因為二面角的大小與其兩個半平面的兩個法向量的夾角相等哉互補，所以=，解得，因為E是PD的中點，所以三棱錐E-ACD的高為，所以三棱錐E-ACD的體積為==.
【易錯點】對第（1）問，證明線面平行時,容易漏掉條件；對第（2）問，二面角的大小與兩個法向量夾角相等或互補的關系，一部分同學容易得出它們相等；并且計算法向量可能出現錯誤.