Question

已知圓C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的兩條直線l₁、l₂都過點A（a，0）．
（Ⅰ）當a=2時，若圓心為M（1，m）的圓和圓C外切且與直線l₁、l₂都相切，求圓M的方程；
（Ⅱ）當a=-1時，求l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值，并求此時直線l₁的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出所求的圓的半徑r，利用和已知圓外切及圓心M（1，m）到點A（2，0）的距離為，求出半徑r和m的值，寫出所求圓的標準方程．
（2）設弦長分別為d₁，d₂，因為四邊形AECF是矩形，應用勾股定理和基本不等式求d₁+d₂的最大值，由d₁，d₂的值結合弦長公式求出直線斜率，點斜式寫出直線方程并化為一般式．
解答：解：（Ⅰ）設圓M的半徑為r，由于圓M的兩條切線互相垂直，故圓心M（1，m）到點A（2，0）的距離為，
∴，（4分）  解得r=2，且，
∴圓M的方程為．（7分）
（Ⅱ）當a=-1時，設圓C的圓心為C，l₁、l₂ 被圓C所截得弦的中點分別為E，F，弦長分別為d₁，d₂，
因為四邊形AECF是矩形，所以CE²+CF²=AC²=1，即，（10分）
從而，等號成立，∴時，
∴，即l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值為． （13分）
此時，顯然直線l₁的斜率存在，設直線l₁的方程為：y=k（x+1），
則，∴k=±1，∴直線l₁的方程為：x-y+1=0或x+y+1=0．（15分）
點評：本題考查圓的標準方程的求法、直線和園位置關系的綜合應用．