Question

已知.
（1）時，求的極值;
（2）當時，討論的單調性;
（3）證明：（，，其中無理數）

Answer 1

（1）極大值，極小值.（2）當時，上單調遞減，單調遞增， 單調遞減；當時，單調遞減；當時，上單調遞減，單調遞增，單調遞減；（3）構造函數，利用函數的單調性處理

試題分析： 1分
（1）令，知在區間上單調遞增，上單調遞減，在單調遞增.故有極大值，極小值.………4分
（2）當時，上單調遞減，單調遞增，單調遞減，當時，單調遞減
當時，上單調遞減，單調遞增，單調遞減 7分
（3）由（Ⅰ）當時，在上單調遞減.
當時
∴，即
∴


∴.  10分
點評：近幾年新課標高考對于函數與導數這一綜合問題的命制，一般以有理函數與半超越（指數、對數）函數的組合復合且含有參量的函數為背景載體，解題時要注意對數式對函數定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數單調性、導數運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數學思想（分類與整合、數與形的結合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數學運算的“力量”與數學思維的“技巧”完美結合